Giovanni Bricconi

Supponi di avere una variabile casuale X da cui, ad ogni estrazione, si possono ottenere solo i valori a,b,c con probabilità Pa=0,5 Pb=0,3 e Pc=0,2. Supponi inoltre che ogni estrazione sia indipendente dalla successiva.

Ora prova ad estrarre una sequenza di 10 eventi da questa variabile casuale, potresti per esempio ottenere abbaabcacb; in questa sequenza è presente la sottosequenza abc.

Qual’è la probabilità di non trovare mai la sequenza abc in tutte le possibili estrazioni di 10 eventi? [Ai(x) = {probabilità che la sequenza appaia i volte in estrazioni di lunghezza x} A0(10) = 0,773392] e di trovarla una volta? [A1(10) = 0,213324]

Come cambiano la probabilità passando da 10 a 11 o 12 estrazioni? [A0(11)=0,748630 A0(12)=0,724661; A1(11)=0,233010 A1(12)=0,251217]

Che cosa cambia se invece di abc si cerca  aaa oppure abcab?

[per aaa]

[per abcab]

Esistono un limite minimo e uno massimo alla probabilità di trovare una sola volta una sequenza di tre eventi in sequenze di x elementi?

Questo documento descrive in modo più semplice, e corredato da esempi, quanto ho descritto nel mio post precedente “la probabilità di sequenze di eventi casuali”. Quindi consiglio vivamente a chi fosse interessato di leggere prima questa l’introduzione e poi eventualmente l’altro.

Consideriamo un insieme di eventi casuali indipendenti xi: \xi=\{a,b,c,\dots\} ognuno con una probabilità di realizzarsi nota P_{a},P_{b},\dots

Compiendo diverse estrazioni casuali possiamo costruire delle sequenze di eventi s
, per esempio a,a,c,d,b,z,… Volendo fare un esempio concreto si può pensare alla roulette: in questo caso gli eventi possibili sono i numeri da zero a 36, \xi=\{0,1,2,\dots,36\}
e una sequenza di eventi possibile è {0,14,7,21,21,35}. Nel caso della roulette la probabilità di ogni singolo evento P_{i}
è uguale a quella di qualsiasi altro, cioè P_{0}=\dots=P_{36}=\frac{1}{37}

Fissato x, numero di estrazioni che si compiono, un problema semplice che ci si può porre è: qual’è la probabilità che un evento a=4 appaia almeno una volta in una sequenza di x estrazioni? La soluzione è, nel caso della roulette, 1-\left(1-\nicefrac{1}{37}\right)^{x}, cioè 1 meno la probabilità che ad ogni singola estrazione non esca il 4.

Non ho mai trovato un documento che spiegasse come calcolare la probabilità di trovare, in una sequenza casuale, una specifica coppia o una terna consecutiva di eventi; ho quindi deciso di affrontare questo problema e questo documento raccoglie in forma divulgativa i risultai che ho ottenuto. La dimostrazione di quanto trovato è svolta in un documento separato in modo da non appesantire troppo la lettura.

In questo documento mostrerò, ad esempio, come calcolare la probabilità che una sequenza di nostro interesse \rho
, come \rho= {7, 21}, appaia esattamente una, due o i volte all’interno di estrazioni lunghe x elementi. Il problema in effetti diventa complesso solo quando si ha a che fare con sequenze che possono essere parzialmente sovrapposte su se stesse, come \rho=\{a,b,a\}

WordPress non è proprio l’ideale per pubblicare questo tipo di contenuto, quindi il resto dell’articolo è in questo file Divulgativo

Data una sorgente di eventi casuali tra loro indipendenti – anche se non equiprobabili – ed una particolare sequenza di eventi di interesse, qual’e la probabilita che essa si presenti nessuna, una, n volte in un certo numero di estrazioni consecutive?

Vorrei postare l’articolo come pagina web, ma avendolo scritto tempo fa in latex sto ancora cercando di capire come fare a convertirlo e caricarlo in wordpress decentemente.

Per adesso eccolo in formato pdf: La probabilità di sequenze di eventi casuali