Giovanni Bricconi

Questo documento descrive in modo più semplice, e corredato da esempi, quanto ho descritto nel mio post precedente “la probabilità di sequenze di eventi casuali”. Quindi consiglio vivamente a chi fosse interessato di leggere prima questa l’introduzione e poi eventualmente l’altro.

Consideriamo un insieme di eventi casuali indipendenti xi: \xi=\{a,b,c,\dots\} ognuno con una probabilità di realizzarsi nota P_{a},P_{b},\dots

Compiendo diverse estrazioni casuali possiamo costruire delle sequenze di eventi s
, per esempio a,a,c,d,b,z,… Volendo fare un esempio concreto si può pensare alla roulette: in questo caso gli eventi possibili sono i numeri da zero a 36, \xi=\{0,1,2,\dots,36\}
e una sequenza di eventi possibile è {0,14,7,21,21,35}. Nel caso della roulette la probabilità di ogni singolo evento P_{i}
è uguale a quella di qualsiasi altro, cioè P_{0}=\dots=P_{36}=\frac{1}{37}

Fissato x, numero di estrazioni che si compiono, un problema semplice che ci si può porre è: qual’è la probabilità che un evento a=4 appaia almeno una volta in una sequenza di x estrazioni? La soluzione è, nel caso della roulette, 1-\left(1-\nicefrac{1}{37}\right)^{x}, cioè 1 meno la probabilità che ad ogni singola estrazione non esca il 4.

Non ho mai trovato un documento che spiegasse come calcolare la probabilità di trovare, in una sequenza casuale, una specifica coppia o una terna consecutiva di eventi; ho quindi deciso di affrontare questo problema e questo documento raccoglie in forma divulgativa i risultai che ho ottenuto. La dimostrazione di quanto trovato è svolta in un documento separato in modo da non appesantire troppo la lettura.

In questo documento mostrerò, ad esempio, come calcolare la probabilità che una sequenza di nostro interesse \rho
, come \rho= {7, 21}, appaia esattamente una, due o i volte all’interno di estrazioni lunghe x elementi. Il problema in effetti diventa complesso solo quando si ha a che fare con sequenze che possono essere parzialmente sovrapposte su se stesse, come \rho=\{a,b,a\}

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